13078. Углы треугольника
ABC
относятся как
4:2:1
, т. е.
\angle A:\angle B:\angle C=4:2:1
. Докажите что для сторон треугольника справедливо равенство
\frac{1}{BC}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AB}.

Решение. Обозначим
\angle C=\gamma
. Тогда
\angle A=4\gamma
и
\angle B=2\gamma
. Сумма углов треугольника равна
\pi
, поэтому
4\gamma+2\gamma+\gamma=7\gamma=\pi,

откуда
\angle C=\frac{\pi}{7},~\angle A=\frac{4\pi}{7},~\angle B=\frac{2\pi}{7}.

Заметим, что тогда точки
A
,
B
и
C
— вершины правильного семиугольника (см. рис.). Точки
A
,
B
и
C
лежат на его описанной окружности.
Первый способ. Пусть
D
— вершина вписанного в эту окружность четырёхугольника
ABDC
, причём
A
,
B
и
D
— соседние вершины семиугольника, а точка
C
лежит на дуге
AD
не содержащей точки
B
описанной окружности семиугольника через одну вершину от его вершины
A
.
По теореме Птолемея (см. задачу 130)
AC\cdot BD+AB\cdot CD=AD\cdot BC,~\mbox{или}~AC\cdot AB+AB\cdot BC=AC\cdot BC,

так как
BD=AB
и
CD=BC
(как хорды, стягивающие равные дуги). Разделив обе части последнего равенства на произведение
AB\cdot BC\cdot AC
, получим
\frac{1}{BC}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AB}.

Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть
R
— радиус описанной окружности треугольника
ABC
. По теореме синусов
AB=2R\sin\frac{\pi}{7},~AC=2R\sin\frac{2\pi}{7},~BC=2R\sin\frac{4\pi}{7}.

Значит,
\frac{1}{BC}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AB}~\Leftrightarrow~\frac{1}{\sin\frac{4\pi}{7}}+\frac{1}{\sin\frac{2\pi}{7}}=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{7}}~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~\sin\frac{2\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{4\pi}{7}\sin\frac{\pi}{7}=\sin\frac{4\pi}{7}\sin\frac{2\pi}{7}~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{3\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7}-\cos\frac{5\pi}{7}=\cos\frac{2\pi}{7}-\cos\frac{6\pi}{7}~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{5\pi}{7}=\cos\frac{2\pi}{7}-\cos\frac{6\pi}{7}.

Последнее равенство верно, так как
-\cos\frac{5\pi}{7}=-\cos\left(\pi-\frac{2\pi}{7}\right)=\cos\frac{2\pi}{7},~\cos\frac{\pi}{7}=\cos\left(\pi-\frac{6\pi}{7}\right)=-\cos\frac{6\pi}{7}.

Следовательно,
\frac{1}{BC}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AB}.

Что и требовалось доказать.