13079. Укажите виды всех треугольников, у которых стороны составляют арифметическую прогрессию, а углы — арифметическую.
Ответ. Равносторонние треугольники.
Решение. Пусть \alpha-d
, \alpha
и \alpha+d
(d\gt0
) — углы треугольника, а средняя по величине сторона треугольника равна a
. Тогда (см. задачу 3499) стороны треугольника, противолежащие указанным сторонам, равны \frac{a}{q}
, a
и aq
(q\geqslant1
).
Сумма углов треугольника равна 180^{\circ}
, поэтому
180^{\circ}=(\alpha-d)+\alpha+(\alpha+d)+\alpha=3\alpha,
Откуда \alpha=60^{\circ}
.
По теореме косинусов
a^{2}=\frac{a^{2}}{q^{2}}+a^{2}q^{2}-2\cdot\frac{a}{q}\cdot aq\cos60^{\circ}=\frac{a^{2}}{q^{2}}+a^{2}q^{2}a^{2}-a^{2}.
Тогда
2=\frac{1}{q^{2}}+q^{2}~\Leftrightarrow~\left(\frac{1}{q}-q\right)^{2}=0~\Leftrightarrow~q^{2}=1,
а так как q\geqslant1
, то q=1
. Следовательно, все стороны треугольника равны a
, т. е. треугольник равносторонний.