13085. К двум внешне касающимся окружностям радиусов R
и r
проведена секущая, на которой окружности высекают три равных отрезка. Найдите их длины.
Ответ. \frac{\sqrt{14Rr-R^{2}-r^{2}}}{2\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть секущая пересекает окружности радиусов r
и R
с центрами соответственно O_{1}
и O_{2}
последовательно в точках A
, B
, C
и D
, причём AB=BC=CD=2x
, а K
— точка касания. Опустим перпендикуляры O_{1}M
и O_{2}N
на прямую AD
. Тогда M
и N
— середины отрезков AB
и CD
соответственно (см. задачу 1676).
Из прямоугольных треугольников O_{1}MA
и O_{2}ND
получаем
O_{1}M=\sqrt{O_{1}A^{2}-AM^{2}}=\sqrt{r^{2}-x^{2}},
O_{2}N=\sqrt{O_{2}D^{2}-DN^{2}}=\sqrt{R^{2}-x^{2}}.
Пусть O_{1}F
— перпендикуляр к O_{2}N
. Тогда
O_{2}F=|O_{2}N-FN|=|O_{2}N-O_{1}M|=|\sqrt{R^{2}-x^{2}}-\sqrt{r^{2}-x^{2}}|.
Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания (см. задачу 1758), поэтому
O_{1}O_{2}=O_{1}K+O_{2}K=r+R.
По теореме Пифагора
O_{1}O_{2}^{2}=O_{1}F^{2}+O_{2}F^{2},~\mbox{или}~(r+R)^{2}=(4x)^{2}+(\sqrt{R^{2}-x^{2}}-\sqrt{r^{2}-x^{2}})^{2},
r^{2}+2Rr+R^{2}=16x^{2}+R^{2}-x^{2}-2\sqrt{(R^{2}-x^{2})(r^{2}-x^{2})}+r^{2}-x^{2},
2\sqrt{R^{2}r^{2}-x^{2}(R^{2}+r^{2})+x^{4}}=14x^{2}-2Rr,~\sqrt{R^{2}r^{2}-x^{2}(R^{2}+r^{2})+x^{4}}=7x^{2}-Rr
R^{2}r^{2}-x^{2}(R^{2}+r^{2})+x^{4}=49x^{4}-14Rrx^{2}+R^{2}r^{2}
x^{2}=\frac{14Rr-R^{2}-r^{2}}{48},~x=\frac{\sqrt{14Rr-R^{2}-r^{2}}}{4\sqrt{3}}.
Следовательно,
AB=BC=CD=2x=\frac{\sqrt{14Rr-R^{2}-r^{2}}}{2\sqrt{3}}.
(Заметим, что
(4x)^{2}=MN^{2}=O_{1}F^{2}\geqslant O_{1}O_{2}^{2}=(R+r)^{2}\geqslant4Rr,
откуда x^{2}\geqslant\frac{1}{4}Rr
. Значит,
7x^{2}\geqslant\frac{7}{4}Rr\gt Rr,
т. е. 7x^{2}-Rr\gt0
. Это значит, что найденное значение удовлетворяет условию задачи.)