13086. Центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции, делит её высоту в отношении 3:4
. Найдите основания трапеции, если радиус окружности равен 10, а её средняя линия равна высоте.
Ответ. 16 и 12.
Решение. Пусть трапеция ABCD
вписана в окружность с центром O
и радиусом 10, P
и Q
— середины оснований AD
и BC
соответственно, CH
— высота трапеции. Тогда PQ
— тоже высота трапеции. Положим OP=3x
, OQ=4x
, AD=2a
, BC=2b
.
Отрезок AH
равен средней линии трапеции (см. задачу 1921), поэтому
AH=CH=PQ=OP+OQ=3x+4x=7x.
Из прямоугольных треугольников BQO
и APO
получаем
b^{2}+16x^{2}=100,~a^{2}+9x^{2}=100,
откуда a^{2}-b^{2}=7x^{2}
, а так как средняя линия трапеции равна a+b
, то
7x^{2}=a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=(a-b)\cdot7x,
откуда a-b=x
. Из системы
\syst{a-b=x\\a+b=7x\\}
получаем, что a=4x
и b=3x
. Тогда, подставив a=4x
в равенство a^{2}+9x^{2}=100
, найдём, что x=2
. Значит,
a^{2}=100-9x^{2}=100-36=64,~b^{2}=100-64=36.
Следовательно,
AD=2a=2\cdot8=16,~BC=2b=2\cdot6=12.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.360, с. 183