13086. Центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции, делит её высоту в отношении 3:4
. Найдите основания трапеции, если радиус окружности равен 10, а её средняя линия равна высоте.
Ответ. 16 и 12.
Решение. Пусть трапеция ABCD
вписана в окружность с центром O
и радиусом 10, P
и Q
— середины оснований AD
и BC
соответственно, DH
— высота трапеции. Тогда PQ
— тоже высота трапеции. Положим OP=4x
, OQ=3x
, AD=2a
, BC=2b
.
Отрезок AH
равен средней линии трапеции (см. задачу 1921), поэтому
BH=DH=PQ=OP+OQ=4x+3x=7x.
Из прямоугольных треугольников APO
и BQO
получаем
a^{2}+16x^{2}=100,~b^{2}+9x^{2}=100,
откуда b^{2}-a^{2}=7x^{2}
, а так как средняя линия трапеции равна a+b
, то
7x^{2}=b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a)=(b-a)\cdot7x,
откуда b-a=x
. Из системы
\syst{b-a=x\\a+b=7x\\}
получаем, что a=3x
и b=4x
. Тогда, подставив a=3x
в равенство a^{2}+16x^{2}=100
, найдём, что x=2
. Значит,
a^{2}=100-16x^{2}=100-64=36,~b^{2}=100-36=64.
Следовательно,
AD=2a=2\cdot6=12,~BC=2b=2\cdot8=16.