13086. Центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции, делит её высоту в отношении
3:4
. Найдите основания трапеции, если радиус окружности равен 10, а её средняя линия равна высоте.
Ответ. 16 и 12.
Решение. Пусть трапеция
ABCD
вписана в окружность с центром
O
и радиусом 10,
P
и
Q
— середины оснований
AD
и
BC
соответственно,
CH
— высота трапеции. Тогда
PQ
— тоже высота трапеции. Положим
OP=3x
,
OQ=4x
,
AD=2a
,
BC=2b
.
Отрезок
AH
равен средней линии трапеции (см. задачу 1921), поэтому
AH=CH=PQ=OP+OQ=3x+4x=7x.

Из прямоугольных треугольников
BQO
и
APO
получаем
b^{2}+16x^{2}=100,~a^{2}+9x^{2}=100,

откуда
a^{2}-b^{2}=7x^{2}
, а так как средняя линия трапеции равна
a+b
, то
7x^{2}=a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=(a-b)\cdot7x,

откуда
a-b=x
. Из системы
\syst{a-b=x\\a+b=7x\\}

получаем, что
a=4x
и
b=3x
. Тогда, подставив
a=4x
в равенство
a^{2}+9x^{2}=100
, найдём, что
x=2
. Значит,
a^{2}=100-9x^{2}=100-36=64,~b^{2}=100-64=36.

Следовательно,
AD=2a=2\cdot8=16,~BC=2b=2\cdot6=12.

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.360, с. 183