13089. В окружность вписан четырёхугольник с последовательными сторонами a
, b
, c
и d
. Найдите отношение его диагоналей.
Ответ. \frac{ab+cd}{ad+bc}
.
Решение. Пусть BD=e
и AC=f
— диагонали вписанного четырёхугольника ABCD
со сторонами AB=a
, BC=b
, CD=c
и AD=d
. Обозначим \angle ABC=\alpha
. Тогда \angle ADC=180^{\circ}-\alpha
(см. задачу 6).
По теореме Птолемея (см. задачу 130)
ef=ac+bd.
По теореме косинусов из треугольников ABC
и ADC
получаем
f^{2}=AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos\angle ABC=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha,
f^{2}=AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}-2AD\cdot DC\cos(180^{\circ}-\alpha)=d^{2}+c^{2}+2dc\cos\alpha.
Тогда
(d^{2}+c^{2}+2dc\cos\alpha)-(a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha)=f^{2}-f^{2}=0,
откуда находим, что
\cos\alpha=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}.
Значит,
f^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha=a^{2}+b^{2}-\frac{2ab(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})}{2(ab+cd)}=
=\frac{a^{3}b+a^{2}cd+ab^{3}+b^{2}cd-a^{3}b-ab^{3}+c^{2}ab+d^{2}ab}{ab+cd}=
=\frac{ac(ad+bc)+bd(bc+ad)}{ab+cd}=\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}.
Следовательно,
\frac{e}{f}=\frac{ef}{f^{2}}=\frac{ac+bd}{\frac{(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}}=\frac{ab+cd}{ad+bc}.