13095. В треугольнике ABC
угол при вершине A
вдвое больше угла при вершине B
, а стороны, противолежащие этим углам, соответственно равны 12 и 8. Найдите третью сторону треугольника.
Ответ. 10.
Решение. Первый способ. Пусть \angle ABC=\alpha
, \angle BAC=2\alpha
. По теореме синусов
\frac{AC}{\sin\alpha}=\frac{BC}{\sin2\alpha},~\frac{8}{\sin\alpha}=\frac{12}{2\sin\alpha\cos\alpha},
откуда
\cos\alpha=\frac{3}{4},~\sin\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4}.
По теореме синусов
\frac{AB}{\sin(180^{\circ}-3\alpha)}=\frac{AC}{\sin\alpha},~\mbox{или}~\frac{AB}{\sin3\alpha}=\frac{8}{\sin\alpha}.
Следовательно,
AB=\frac{8\sin3\alpha}{\sin\alpha}=\frac{8(3\sin\alpha-4\sin^{3}\alpha)}{\sin\alpha}=8(3-4\sin^{2}\alpha)=8\left(3-4\cdot\frac{7}{16}\right)=10.
Второй способ. Проведём биссектрису AD
треугольника ABC
. Тогда
\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle CAB=\angle ABC,
поэтому треугольники ABC
и DAC
с общим углом при вершине C
подобны по двум углам, а треугольник ADB
равнобедренный.
Обозначим AD=BD=x
. Отношение сумм сторон, заключающих общий угол при вершине C
подобных треугольников ABC
и DAC
, равно коэффициенту подобия, т. е.
\frac{BC+AC}{AC+CD}=\frac{BC}{AC},~\mbox{или}~\frac{12+8}{8+(12-x)}=\frac{12}{8},
откуда x=\frac{20}{3}
.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC},~\mbox{или}~\frac{x}{12-x}=\frac{AB}{8}.
Следовательно,
AB=\frac{8x}{12-x}=\frac{8\cdot\frac{20}{3}}{12-\frac{20}{3}}=\frac{160}{36-20}=10.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.361, с. 183