13098. Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 8, её площадь равна 21. Какую сторону пересекает биссектриса угла при большем основании трапеции: меньшее основание или боковую сторону трапеции?
Ответ. Боковую сторону.
Решение. Пусть BH
— высота равнобедренной трапеции ABCD
с основаниями BC=4
и AD=8
. По условию
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{4+8}{2}\cdot BH=6BH=21,
откуда BH=\frac{7}{2}
, а так как
BH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{8-4}{2}=2
(см. задачу 1921), то из прямоугольного треугольника AHB
находим, что
AB=\sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{4+\frac{49}{4}}=\frac{\sqrt{65}}{2}.
Пусть биссектриса угла BAD
пересекает прямую BC
в точке E
. Тогда
\angle BEA=\angle DAE=\angle BAE,
поэтому треугольник ABE
равнобедренный, BE=AB=\frac{\sqrt{65}}{2}
, а так как
\frac{\sqrt{65}}{2}\gt4~\Leftrightarrow~\sqrt{65}\gt8~\Leftrightarrow~65\gt64,
то BE\gt BC
. Следовательно, биссектриса угла BAD
пересекает боковую сторону CD
.