13099. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, равные 2 и 4, а высота, опущенная на эту сторону, равна \sqrt{15}
. Найдите стороны треугольника.
Ответ. 6, 4, 8 или 6, 2\sqrt{6}
, 4\sqrt{6}
.
Решение. Пусть AL
и AH=\sqrt{15}
— соответственно биссектриса и высота треугольника ABC
, BL=4
и CL=2
.
По свойству биссектрисы треугольника \frac{AC}{AB}=\frac{CL}{BL}=\frac{1}{2}
(см. задачу 1509). Положим AC=x
и AB=2x
.
Пусть точка H
лежит на стороне BC
, а не на её продолжении. Тогда
6=BC=BH+CH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}+\sqrt{AC^{2}-AH^{2}}=\sqrt{4x^{2}-15}+\sqrt{x^{2}-15}.
При этом x^{2}\geqslant15
, поэтому
\sqrt{4x^{2}-15}\geqslant\sqrt{60-15}=\sqrt{45}\gt6.
Значит, уравнение
\sqrt{4x^{2}-15}+\sqrt{x^{2}-15}=6
не имеет решений.
Из неравенства AB\gt AC
следует, что BH\gt CH
, поэтому точка H
не может лежать на продолжении стороны BC
за точку B
. Рассмотрим случай, когда точка H
лежит на продолжении этой стороны за точку C
. Тогда
6=BC=BH-CH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}-\sqrt{AC^{2}-AH^{2}}=\sqrt{4x^{2}-15}-\sqrt{x^{2}-15},
\sqrt{4x^{2}-15}-\sqrt{x^{2}-15}=6~\Rightarrow~\sqrt{4x^{2}-15}=\sqrt{x^{2}-15}+6~\Rightarrow
\Rightarrow~4x^{2}-15=x^{2}-15+12\sqrt{x^{2}-15}+36~\Rightarrow~12\sqrt{x^{2}-15}=3x^{2}-36~\Rightarrow
\Rightarrow~4\sqrt{x^{2}-15}=x^{2}-12~\Rightarrow~16x^{2}-240=x^{4}-24x^{2}+144~\Rightarrow
\Rightarrow~x^{4}-40x^{2}+384=0~\Rightarrow~(x^{2}-24)(x^{2}-16)=0.
Положительные корни этого уравнения — x=4
и x=2\sqrt{6}
. Следовательно,
AC=4,AB=8~\mbox{или}~AC=2\sqrt{6},~AB=2\sqrt{6}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.377, с. 183