13102. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла отсекает на гипотенузе отрезки, равные a
и b
. Найдите площадь квадрата, стороной которого является эта биссектриса.
Ответ. \frac{2a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}
.
Решение. Пусть ABC
— прямоугольный треугольник с катетами AC=x
и BC=y
, CL=l
— его биссектриса, а AL=a
и BL=b
. Тогда (см. задачу 791)
l^{2}=AC\cdot BC-AL\cdot BL=xy-ab.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{x}{y}=\frac{AC}{BC}=\frac{a}{b}~\Rightarrow~y^{2}=x^{2}\cdot\frac{b^{2}}{a^{2}}.
По теореме Пифагора
(a+b)^{2}=AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=x^{2}+y^{2}=x^{2}+x^{2}\cdot\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{x^{2}(a^{2}+b^{2})}{a^{2}},
откуда
x^{2}=\frac{a^{2}(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}},~y^{2}=x^{2}\cdot\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{b^{2}(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}}.
Следовательно,
l^{2}=xy-ab=\frac{a(a+b)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\cdot\frac{b(a+b)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}-ab=\frac{ab(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}}-ab=
=\frac{ab((a+b)^{2}-a^{2}-b^{2})}{a^{2}+b^{2}}=\frac{2a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.