13103. Стороны и диагонали параллелограмма равны соответственно a
, b
, c
и f
. Найдите углы параллелограмма, если a^{4}+b^{4}=c^{2}f^{2}
.
Ответ. 45^{\circ}
, 135^{\circ}
.
Решение. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (см. задачу 4011)
c^{2}+f^{2}=2a^{2}+2b^{2},
а так как по условию
c^{2}f^{2}=a^{4}+b^{4},
то по теореме, обратной теореме Виета, числа c^{2}
и f^{2}
являются корнями квадратного уравнения
t^{2}-2(a^{2}+b^{2})t+a^{4}+b^{4}=0,
т. е. либо
c^{2}=a^{2}+b^{2}-\sqrt{2}ab~\mbox{и}~f^{2}=a^{2}+b^{2}+\sqrt{2}ab,
либо
c^{2}=a^{2}+b^{2}+\sqrt{2}ab~\mbox{и}~f^{2}=a^{2}+b^{2}-\sqrt{2}ab.
Пусть ABCD
— параллелограмм со сторонами AB=a
, AD=b
и диагоналями BD=c
и AC=f
. Тогда в первом случае по теореме косинусов находим, что
\cos\angle BAD=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}=\frac{a^{2}+b^{2}-(a^{2}+b^{2}-\sqrt{2}ab)}{2ab}=\frac{\sqrt{2}}{2},
\cos\angle ADC=\frac{a^{2}+b^{2}-f^{2}}{2ab}=\frac{a^{2}+b^{2}-(a^{2}+b^{2}+\sqrt{2}ab)}{2ab}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Следовательно,
\angle BAD=45^{\circ},~\angle ADC=135^{\circ}.
Аналогично для второго случая.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 10.342, с. 181