1311. Найдите расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники ABC
и CDA
, со стороной AC
, если
а) AB=5
, BC=7
, CD=DA
;
б) AB=7
, BC=CD
, DA=9
.
Ответ. а) 1; б) 1.
Указание. Расстояние от вершины треугольника до ближайшей точки касания с вписанной окружностью равно разности между полупериметром и противолежащей стороной треугольника (x=p-a)
(см. задачу 219).
Решение. а) Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AC
в точке K
, а вписанная окружность треугольника CDA
— в точке M
. Поскольку расстояние от вершины треугольника до точки касания с вписанной окружностью равно разности между полупериметром и противолежащей стороной треугольника, то
AK=\frac{AB+AC-BC}{2},~AM=\frac{AC+AD-DC}{2}
(см. задачу 219). Тогда
KM=|AK-AM|=\frac{|AB+DC-BC-AD|}{2}=|7-9|=1.