13111. Стороны остроугольного треугольника равны \sqrt{13}
и \sqrt{10}
. Найдите третью сторону, зная, что она равна опущенной не неё высоте.
Ответ. 3.
Решение. Пусть AH
— высота треугольника ABC
со сторонами AB=\sqrt{10}
, AC=\sqrt{13}
и BC=AH
. Поскольку треугольник остроугольный, точка H
лежит на отрезке BC
, а не на его продолжении (см. задачу 127).
Обозначим BC=AH=h
. Тогда
BH+CH=BC,~\mbox{или}~\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}+\sqrt{AC^{2}-AH^{2}}=BC,
\sqrt{10-h^{2}}+\sqrt{13-h^{2}}=h~\Leftrightarrow~\sqrt{13-h^{2}}=h-\sqrt{10-h^{2}}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~\syst{13-h^{2}=h^{2}-2h\sqrt{10-h^{2}}+10-h^{2}\\h-\sqrt{10-h^{2}}\geqslant0\\}~\Leftrightarrow~\syst{2h\sqrt{10-h^{2}}=h^{2}-3\\h\geqslant\sqrt{5}\\}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\syst{40h^{2}-4h^{4}=h^{4}-6h^{2}+9\\h\geqslant\sqrt{5}\\}\Leftrightarrow~\syst{5h^{4}-46h^{2}+9=0\\h\geqslant\sqrt{5}\\}\Leftrightarrow~h^{2}=9.
Следовательно, h=3
.