13114. Точка C
перемещается по отрезку AB
фиксированной длины. На отрезках AC
и CB
как на основаниях построены правильные треугольники по одну сторону от прямой AB
. Где нужно взять точку C
, чтобы расстояния между вершинами треугольников было наименьшим?
Ответ. C
— середина отрезка AB
.
Решение. Пусть ADC
и BEC
— равносторонние треугольники, DP
и EQ
— их высоты, а точки D
и E
расположены по одну сторону от прямой AB
.
Опустим перпендикуляр DF
на прямую EQ
. Тогда (см. задачу 4269)
DE\geqslant DF=PQ=PC+CQ=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}(AC+CB)=\frac{1}{2}AB,
причём равенство имеет место только в случае, когда DE=EF
, т. е. когда AC=CB
. Следовательно, C
— середина отрезка AB
.