13115. Высота, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, разбивает его на два треугольника с площадями p
и q
. Найдите катеты.
Ответ. \sqrt{2(p+q)}\cdot\sqrt[{4}]{{\frac{p}{q}}}
, \sqrt{2(p+q)}\cdot\sqrt[{4}]{{\frac{q}{p}}}
.
Решение. Пусть CH
— высота прямоугольного треугольника с катетами BC=a
и AC=b
, проведённая из вершины C
прямого угла, а S_{\triangle CHB}=p
и S_{\triangle AHC}=q
. Тогда (см. задачи 1946 и 3000)
\frac{p}{q}=\frac{S_{\triangle CHB}}{S_{\triangle AHC}}=\frac{a^{2}}{b^{2}}.
Кроме того,
p+q=S_{\triangle CHB}+S_{\triangle AHC}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab,
откуда
a^{2}b^{2}=4(p+q)^{2}.
Перемножив равенства
\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{p}{q},~a^{2}b^{2}=4(p+q)^{2},
получим
a^{4}=4(p+q)^{2}\cdot\frac{p}{q}.
Следовательно,
a=\sqrt{2(p+q)}\cdot\sqrt[{4}]{{\frac{p}{q}}}.
Тогда
b=\frac{2(p+q)}{a}=\sqrt{2(p+q)}\cdot\sqrt[{4}]{{\frac{q}{p}}}.