13116. Вершина C
ромба ABCD
со стороной a
соединена с точками E
и F
, лежащими на сторонах AD
и AB
соответственно. Эти отрезки разбивают ромб на три равновеликие части. Найдите сумму CE+CF
, если \cos\angle ACB=\frac{1}{4}
.
Ответ. \frac{8}{3}a
.
Решение. Для любого параллелограмма ABCD
и точек E
и F
, удовлетворяющих условию задачи,
\frac{AE}{ED}=\frac{AF}{FB}=\frac{1}{2}
(см. задачу 3011), поэтому
DE=BF=\frac{2}{3}a.
Треугольники FBC
и EDC
равны по двум сторонам и углу между ними, а так как
\angle CBF=180^{\circ}-\angle ACB,
то
\cos\angle CBF=-\cos\angle ACB=-\frac{1}{4}.
Следовательно,
CE+CF=2CF=2\sqrt{BC^{2}+BM^{2}-2BC\cdot BM\cos\angle CBF}=
=2\sqrt{a^{2}+\frac{4}{9}a^{2}+2a\cdot\frac{2}{3}a\cdot\frac{1}{4}}=2\cdot\frac{4}{3}a=\frac{8}{3}a.