13118. Площадь равнобедренной трапеции равна S
, а угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен \alpha
. Найдите высоту трапеции.
Ответ. \sqrt{S\tg\frac{\alpha}{2}}
.
Решение. Пусть ABCD
— равнобедренная трапеция с площадью S
, основаниями BC
и AD
, BH=h
— высота трапеции, O
— точка пересечения диагоналей, \angle AOB=\alpha
, а средняя линия трапеции равна l
.
По теореме о внешнем угле треугольника находим, что
\angle ADO=\angle DAO=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{\alpha}{2}.
Отрезок DH
равен средней линии трапеции (см. задачу 1921). Из прямоугольного треугольника BHD
получаем
l=\frac{BH}{\tg\angle BDH}=\frac{h}{\tg\frac{\alpha}{2}}.
С другой стороны, S=lh
, откуда
h=\frac{S}{l}=\frac{S}{\frac{h}{\tg\frac{\alpha}{2}}}=\frac{S\tg\frac{\alpha}{2}}{h}.
Значит, h^{2}=S\tg\frac{\alpha}{2}
. Следовательно, h=\sqrt{S\tg\frac{\alpha}{2}}
.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.137, с. 222