13119. Большее основание вписанной в окружность трапеции равно диаметру окружности, а угол при основании равен \alpha
. В каком отношении точка пересечения диагоналей трапеции делит её высоту?
Ответ. -\cos2\alpha
.
Решение. Пусть радиус окружности с центром O
, описанной около равнобедренной трапеции ABCD
равен R
, AD=2R
— большее основание, \angle BAD=\alpha
, K
— точка пересечения диагоналей, M
— середина меньшего основания BC
.
Поскольку трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная (см. задачу 5003), то \angle CDA=\angle BAD=\alpha
, прямая MK
проходит через точку O
, а отрезок MO
— высота трапеции. Из подобия треугольников BKC
и DKA
следует, что искомое отношение отрезков MK
и KO
равно отношению оснований BC
и AD
.
Точка C
лежит на окружности с диаметром AD
, поэтому \angle ACD=90^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника ACD
находим, что \angle CAD=90^{\circ}-\alpha
, поэтому
\angle BAC=\angle BAD-\angle CAD=\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=2\alpha-90^{\circ}.
По теореме синусов
BC=2R\sin\angle BAC=2R\sin(90^{\circ}-2\alpha)=-2R\cos2\alpha.
Следовательно,
\frac{MK}{KO}=\frac{BC}{AD}=\frac{-2R\cos2\alpha}{2R}=-\cos2\alpha.