13121. В трапеции меньшее основание равно 2, а прилежащие к нему углы — по 135^{\circ}
. Угол между диагоналями, обращённый к основанию, равен 150^{\circ}
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 2.
Решение. Пусть ABCD
— трапеция с основаниями AD\gt BC=2
, O
— точка пересечения диагоналей,
\angle ABC=\angle DCB=135^{\circ},~\angle BOC=150^{\circ}.
Поскольку углы при одном из оснований трапеции равны, эта трапеция равнобедренная. Значит, треугольник BOC
равнобедренный, поэтому
\angle CBO=\angle BCO=15^{\circ},
\angle BAC=180^{\circ}-\angle ABC-\angle ACB=180^{\circ}-135^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}.
По теореме синусов
\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{BC}{\sin\angle BAC},\mbox{или}~\frac{AC}{\sin135^{\circ}}=\frac{2}{\sin30^{\circ}},
откуда
BD=AC=\frac{2\sin135^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}.
Следовательно (см. задачу 3018),
S_{ABCD}=\frac{1}{2}BD\cdot AC\sin\angle AOB=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot\sin30^{\circ}=4\cdot\frac{1}{2}=2.