13130. Сторона треугольника равна 15, сумма двух других сторон равна 27. Найдите косинус угла, противолежащего данной стороне, если радиус вписанной в треугольник окружности равен 4.
Ответ. \frac{5}{13}
.
Решение. Пусть \alpha
— угол при вершине A
данного треугольника ABC
, в котором BC=15
, AB+AC=27
, радиус r
вписанной окружности с центром I
равен 4, M
— точка касания этой окружности со стороной AB
, p
— полупериметр треугольника. Тогда
p=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)=\frac{1}{2}(27+15)=21.
В прямоугольном треугольнике AMI
известны катеты
IM=r=4,~AM=p-BC=21-15=6
(см. задачу 219). Поскольку AI
— биссектриса угла BAC
, то \angle IAM=\frac{\alpha}{2}
. Значит,
\tg\frac{\alpha}{2}=\tg\angle IAM=\frac{IM}{AI}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Следовательно,
\cos\alpha=\frac{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}{1+\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\frac{4}{9}}{1+\frac{4}{9}}=\frac{5}{13}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.180, с. 225