13141. В параллелограмме даны две стороны a
и b
(a\gt b
) и острый угол \alpha
между диагоналями. Найдите углы параллелограмма.
Ответ. \arcsin\frac{(a^{2}-b^{2})\tg\alpha}{2ab}
, 180^{\circ}-\arcsin\frac{(a^{2}-b^{2})\tg\alpha}{2ab}
.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
параллелограмма ABCD
пересекаются в точке O
, AD=a
, AB=b
.
Стороны OA
и OB
треугольника AOB
соответственно равны сторонам OA
и OD
треугольника AOD
, а AB\lt AD
, поэтому \angle AOB\lt\angle AOD
(см. задачу 3606), а так как эти углы смежные, то AOB
— острый угол между диагоналями параллелограмма, \angle AOB=\alpha
.
Обозначим \angle BAD=\beta
, AC=d
, а S
— площадь параллелограмма. Опустим перпендикуляр BH
на диагональ AC
. По теореме Пифагора
AB^{2}-AH^{2}=BC^{2}-CH^{2},~AB^{2}-\left(OA-OH\right)^{2}=BC^{2}-\left(OC+OH\right)^{2},
b^{2}-\left(\frac{d}{2}-OH\tg\alpha\right)^{2}=a^{2}-\left(\frac{d}{2}+OH\tg\alpha\right)^{2},
откуда
a^{2}-b^{2}=2d\cdot OH\tg\alpha=AC\cdot AH\tg\alpha=2S_{\triangle ABC}\tg\alpha=S\tg\alpha=ab\sin\beta\tg\alpha.
Значит,
\sin\beta=\frac{(a^{2}-b^{2})\tg\alpha}{2ab}.
Следовательно,
\angle BAD=\beta=\arcsin\frac{(a^{2}-b^{2})\tg\alpha}{2ab},~\angle ABC=180^{\circ}-\arcsin\frac{(a^{2}-b^{2})\tg\alpha}{2ab}.
Источник: Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М. И. Сканави. — 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1988. — № 12.394, с. 243