13144. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AL
и CN
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки B
, L
и N
, если AC=a
и \angle ABC=\alpha
.
Ответ. \frac{1}{2}a\ctg\alpha
.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Из точек L
и N
отрезок BH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BH
. Следовательно, искомый радиус r
равен половине отрезка BH
.
Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
, M
— середина стороны AB
. Поскольку треугольник остроугольный, центральный угол AOC
этой окружности вдвое больше соответствующего вписанного угла ABC
. Значит,
\angle AOM=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}\cdot2\angle ABC=\alpha.
Из прямоугольного треугольника AOM
находим, что
OM=AM\ctg\angle AOM=\frac{a}{2}\ctg\alpha.
Следовательно (см. задачу 1257),
r=\frac{1}{2}BH=OM=\frac{a}{2}\ctg\alpha.