13147. Докажите, что отношение площади любого треугольника к площади описанного около него круга меньше \frac{2}{3}
.
Решение. Пусть R
— радиус круга описанного около треугольника ABC
с углами \alpha
, \beta
и \gamma
, S
— площадь треугольника. Тогда
S=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma
(см. задачу 4258), а так как площадь круга равна \pi R^{2}
и \pi\gt3
, то
\frac{S}{\pi R^{2}}=\frac{2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{\pi R^{2}}=\frac{2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{\pi}\lt\frac{2\cdot1}{3}=\frac{2}{3}.
Что и требовалось доказать.