13150. Расстояние между центрами двух внешне касающихся окружностей равно d
. Угол между их общими внешними касательными равен \alpha
радиан. Найдите площадь криволинейного треугольника, ограниченного отрезком одной касательной и двумя соответствующими дугами окружностей.
Ответ. \frac{d^{2}}{8}\left(4\cos\frac{\alpha}{2}-\pi\left(1+\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\right)+2\alpha\sin\frac{\alpha}{2}\right)
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, r
и R
—их радиусы (r\lt R
), C
— точка касания окружностей, A
и B
точки касания одной из общих внешних касательных соответственно с первой и второй окружностями, O
— точка пересечения общих внешних касательных.
Общие касательные двух окружностей пересекаются на линии центров, т. е. точка O
лежит на прямой O_{1}O_{2}
. Кроме того, точка C
лежит на отрезке O_{1}O_{2}
(см. задачу 1758), луч OO_{1}
— биссектриса угла между общими внешними касательными, поэтому \angle AOO_{1}=\frac{\alpha}{2}
. Острые углы при вершинах O_{1}
и O_{2}
прямоугольных треугольников OAO_{1}
и OBO_{2}
равны \frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{2}
и \frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}
соответственно.
Опустим перпендикуляр O_{1}H
на радиус O_{2}B
второй окружности. Тогда
O_{1}H=O_{1}O_{2}\sin\angle BO_{2}C=d\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)=d\cos\frac{\alpha}{2},
R-r=O_{2}H=O_{1}O_{2}\cos\angle BO_{2}C=d\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\right)=d\sin\frac{\alpha}{2}.
Из системы
\syst{R+r=d\\R-r=d\sin\frac{\alpha}{2}\\}
находим, что
R=\frac{d}{2}\left(1+\sin\frac{\alpha}{2}\right),~r=\frac{d}{2}\left(1-\sin\frac{\alpha}{2}\right).
Тогда
R^{2}+r^{2}=\frac{d^{2}}{4}\left(2+2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{d^{2}}{2}\left(1+\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\right),
R^{2}-r^{2}=\frac{d^{2}}{4}\cdot4\sin\frac{\alpha}{2}=d^{2}\sin\frac{\alpha}{2}.
Пусть площади секторов AO_{1}C
и BO_{2}C
рассматриваемых окружностей равны S_{1}
и S_{2}
соответственно, площадь прямоугольной трапеции ABO_{2}O_{1}
равна S_{3}
, а искомая площадь криволинейного треугольника ABC
равна S
. Тогда
S_{3}=\frac{1}{2}(O_{2}B+O_{1}A)O_{1}H=\frac{1}{2}(R+r)d\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}d^{2}\cos\frac{\alpha}{2},
S_{1}+S_{2}=\pi r^{2}\cdot\frac{\frac{\pi}{2}+\frac{\alpha}{2}}{2\pi}+\pi R^{2}\cdot\frac{\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}}{2\pi}=r^{2}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{4}\right)+R^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{4}\right)=
=\frac{\pi}{4}(R^{2}+r^{2})-\frac{\alpha}{4}(R^{2}-r^{2})=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{d^{2}}{2}\left(1+\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\right)-\frac{\alpha}{4}\cdot d^{2}\sin\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
S=S_{3}-(S_{1}+S_{2})=\frac{1}{2}d^{2}\cos\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{4}\cdot\frac{d^{2}}{2}\left(1+\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\right)+\frac{\alpha}{4}\cdot d^{2}\sin\frac{\alpha}{2}=
=\frac{d^{2}}{8}\left(4\cos\frac{\alpha}{2}-\pi\left(1+\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\right)+2\alpha\sin\frac{\alpha}{2}\right).