13152. В треугольнике ABC
даны острые углы \alpha
и \gamma
(\alpha\gt\gamma
) при стороне AC
. Из вершины B
проведены высота BD
и биссектриса BE
. Найдите площадь треугольника BDE
, если площадь треугольника ABC
равна S
.
Ответ. \frac{S\tg\frac{\alpha-\gamma}{2}}{\ctg\alpha+\ctg\gamma}=\frac{S\tg\frac{\alpha-\gamma}{2}\sin\alpha\sin\gamma}{\sin(\alpha+\gamma)}
.
Решение. Пусть углы при вершинах A
и C
треугольника ABC
равны \alpha
и \gamma
соответственно. Обозначим AC=b
, BD=h
. Тогда
AD+DC=h\ctg\alpha+h\ctg\gamma=AC=b,~\frac{1}{2}bh=S,
откуда
\frac{1}{2}h^{2}(\ctg\alpha+\ctg\gamma)=S~\Rightarrow~h^{2}=\frac{2S}{\ctg\alpha+\ctg\gamma}.
Известно, что \angle DBE=\frac{\alpha-\gamma}{2}
(см. задачу 1106), поэтому
DE=BD\tg\angle DBE=h\tg\frac{\alpha-\gamma}{2}.
Следовательно,
S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}DE\cdot BD=\frac{1}{2}h\cdot h\tg\frac{\alpha-\gamma}{2}=
=\frac{1}{2}h^{2}\tg\frac{\alpha-\gamma}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2S}{\ctg\alpha+\ctg\gamma}=\frac{S\tg\frac{\alpha-\gamma}{2}}{\ctg\alpha+\ctg\gamma}=
=\frac{S\tg\frac{\alpha-\gamma}{2}\sin\alpha\sin\gamma}{\sin(\alpha+\gamma)}.