13153. Угол MKN
треугольника KMN
равен \varphi
. Сторона MN
является хордой окружности с центром O
и радиусом R
, проходящей через центр окружности, вписанной в треугольник KMN
.
а) Докажите, что около четырёхугольника KMON
можно описать окружность.
б) Известно, что в четырёхугольник KMON
можно вписать окружность. Найдите радиус r
этой окружности, если R=12
, \varphi=120^{\circ}
.
Ответ. 6(\sqrt{3}-1)
.
Решение. а) Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника KMN
. Тогда MI
и NI
— биссектрисы углов KMN
и KNM
, поэтому
\angle MIN=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle MKN=90^{\circ}+\frac{\varphi}{2}
(см. задачу 4770).
Пусть \omega
— окружность, проходящая через точки M
, I
и N
. Поскольку MIN
— угол, вписанный в окружность \omega
, он опирается на дугу этой окружности, равную
2\cdot\angle MIN=2\left(90^{\circ}+\frac{\varphi}{2}\right)=180^{\circ}+\varphi.
Тогда градусная мера центрального угла MON
окружности \omega
равна градусной мере дуги MIN
, т. е.
\angle MON=360^{\circ}-(180^{\circ}+\varphi)=180^{\circ}-\varphi,
а так как
\angle MON+\angle MKN=(180^{\circ}-\varphi)+\varphi=180^{\circ},
то KMON
— вписанный четырёхугольник. Что и требовалось доказать.
б) Поскольку в четырёхугольник KMON
можно вписать окружность, суммы его противоположных сторон равны, т. е. KM+ON=KN+OM
, а так как ON=OM
, то KM=KN
. Угол при вершине K
равнобедренного треугольника KMN
равен 120^{\circ}
, а MN
— основание равностороннего треугольника MON
со стороной 12. Значит,
KM=KN=\frac{MN}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}.
Площадь S
четырёхугольника KMON
равна его полупериметру p
, умноженному на радиус r
вписанной в него окружности (см. задачу 523), т. е. S=pr=(12+4\sqrt{3})r
. С другой стороны
S=S_{\triangle KMN}+S_{\triangle MON}=\frac{1}{2}KM\cdot KN\sin120^{\circ}+\frac{1}{2}OM\cdot ON\sin60^{\circ}=
=\frac{1}{2}(4\sqrt{3})^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot12^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}+36\sqrt{3}=48\sqrt{3}.
Следовательно,
r=\frac{S}{p}=\frac{48\sqrt{3}}{12+4\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}(3-\sqrt{3})}{9-3}=6(\sqrt{3}-1).