13154. Теорема о шести окружностях. Дан треугольник
ABC
. Внутри него расположены шесть окружностей: окружность
\omega_{1}
вписана в угол
A
; окружность
\omega_{2}
вписана в угол
B
и внешним образом касается окружности
\omega_{1}
; окружность
\omega_{3}
вписана в угол
C
и внешним образом касается окружности
\omega_{2}
; окружность
\omega_{4}
вписана в угол
A
и внешним образом касается окружности
\omega_{3}
; окружность
\omega_{5}
вписана в угол
B
и внешним образом касается окружности
\omega_{4}
; окружность
\omega_{6}
вписана в угол
C
и внешним образом касается окружности
\omega_{5}
. Докажите, что окружности
\omega_{6}
и
\omega_{1}
касаются.

Решение. Впишем в угол
A
окружность
\omega_{7}
, внешним образом касающуюся окружности
\omega_{6}
. Обозначим
AB=c
,
BC=a
,
CA=b
,
\angle A=\alpha
,
\angle B=\beta
,
\angle C=\gamma
,
p=\frac{a+b+c}{2}
,
S
— площадь треугольника
ABC
, а радиусы окружностей
\omega_{1}
, …,
\omega_{7}
— через
r_{1}
, …,
r_{7}
. Требуется доказать, что
r_{1}=r_{7}
.
Спроецировав центры окружностей
\omega_{1}
и
\omega_{2}
на отрезок
AB
, получаем равенство (см. задачу 365)
r_{1}\ctg\frac{\alpha}{2}+2\sqrt{r_{1}r_{2}}+r_{2}\ctg\frac{\beta}{2}=c.

Аналогично,
r_{2}\ctg\frac{\beta}{2}+2\sqrt{r_{2}r_{3}}+r_{3}\ctg\frac{\gamma}{2}=a,~r_{3}\ctg\frac{\gamma}{2}+2\sqrt{r_{3}r_{4}}+r_{4}\ctg\frac{\alpha}{2}=b,

r_{4}\ctg\frac{\alpha}{2}+2\sqrt{r_{4}r_{5}}+r_{5}\ctg\frac{\beta}{2}=c,~r_{5}\ctg\frac{\beta}{2}+2\sqrt{r_{5}r_{6}}+r_{6}\ctg\frac{\gamma}{2}=a,

r_{6}\ctg\frac{\gamma}{2}+2\sqrt{r_{6}r_{7}}+r_{7}\ctg\frac{\alpha}{2}=b.

Введём новые обозначения:
\rho_{1}^2=r_{1}\ctg\frac{\alpha}{2},~\rho_{2}^2=r_{2}\ctg\frac{\beta}{2},~\rho_{3}^2=r_{3}\ctg\frac{\gamma}{2},

\rho_{4}^2=r_{4}\ctg\frac{\alpha}{2},~\rho_{5}^2=r_{5}\ctg\frac{\beta}{2},~\rho_{6}^2=r_{6}\ctg\frac{\gamma}{2},~\rho_{7}^2=r_{7}\ctg\frac{\alpha}{2}.

Тогда ранее полученные равенства приобретают вид
\rho_{1}^2+\rho_{2}^2+2\rho_{1}\rho_{2}\sqrt{\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}}=c,~\rho_{4}^2+\rho_{5}^2+2\rho_{4}\rho_{5}\sqrt{\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}}=c,

\rho_{2}^2+\rho_{3}^2+2\rho_{2}\rho_{3}\sqrt{\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}}=a,~\rho_{5}^2+\rho_{6}^2+2\rho_{5}\rho_{6}\sqrt{\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}}=a,

\rho_{3}^2+\rho_{4}^2+2\rho_{3}\rho_{4}\sqrt{\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\alpha}{2}}=b,~\rho_{6}^2+\rho_{7}^2+2\rho_{6}\rho_{7}\sqrt{\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\alpha}{2}}=b.

Преобразуем подкоренные выражения:
\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}=\frac{S}{p(p-a)}\cdot\frac{S}{p(p-b)}=\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{p^2(p-a)(p-b)}=1-\frac{c}{p}

(см. задачу 4884); и аналогично
\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}=1-\frac{a}{p},~\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\alpha}{2}=1-\frac{b}{p}.

Очевидно, существуют такие углы
\varphi
,
\chi
,
\psi
из интервала
(90^{\circ};180^{\circ})
, что
\cos\varphi=-\sqrt{1-\frac{c}{p}},~\sin\varphi=\sqrt{\frac{c}{p}},

\cos\chi=-\sqrt{1-\frac{a}{p}},~\sin\chi=\sqrt{\frac{a}{p}},

\cos\psi=-\sqrt{1-\frac{b}{p}},~\sin\psi=\sqrt{\frac{b}{p}}.

Таким образом, соотношения для
\rho_{1}
, …,
\rho_{7}
становятся теоремами косинусов
\rho_{1}^2+\rho_{2}^2-2\rho_{1}\rho_{2}\cos\varphi=(\sqrt{c})^2,~\rho_{4}^2+\rho_{5}^2-2\rho_{4}\rho_{5}\cos\varphi=(\sqrt{c})^2,

\rho_{2}^2+\rho_{3}^2-2\rho_{2}\rho_{3}\cos\chi=(\sqrt{a})^2,~\rho_{5}^2+\rho_{6}^2-2\rho_{5}\rho_{6}\cos\chi=(\sqrt{a})^2,

\rho_{3}^2+\rho_{4}^2-2\rho_{3}\rho_{4}\cos\psi=(\sqrt{b})^2,~\rho_{6}^2+\rho_{7}^2-2\rho_{6}\rho_{7}\cos\psi=(\sqrt{b})^2

для треугольников со сторонами
\rho_{1}
,
\rho_{2}
,
\sqrt{c}
;
\rho_{2}
,
\rho_{3}
,
\sqrt{a}
;
\rho_{3}
,
\rho_{4}
,
\sqrt{b}
;
\rho_{4}
,
\rho_{5}
,
\sqrt{c}
;
\rho_{5}
,
\rho_{6}
,
\sqrt{a}
;
\rho_{6}
,
\rho_{7}
,
\sqrt{b}
. Причём у этих шести треугольников один и тот же диаметр описанной окружности, равный
\frac{\sqrt{c}}{\sin\varphi}=\frac{\sqrt{a}}{\sin\chi}=\frac{\sqrt{b}}{\sin\psi}=\sqrt{p}
.
Значит, можно построить ломаную
X_{0}X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}X_{5}X_{6}X_{7}
, вписанную в окружность с центром
O
диаметра
\sqrt{p}
, у которой
X_{0}X_{1}=\rho_{1},~X_{1}X_{2}=\rho_{2},~X_{2}X_{3}=\rho_{3},~X_{3}X_{4}=\rho_{4},~X_{4}X_{5}=\rho_{5},~X_{5}X_{6}=\rho_{6},~X_{6}X_{7}=\rho_{7};

\angle X_{0}X_{1}X_{2}=\angle X_{3}X_{4}X_{5}=\varphi,~\angle X_{1}X_{2}X_{3}=\angle X_{4}X_{5}X_{6}=\chi,~\angle X_{2}X_{3}X_{4}=\angle X_{5}X_{6}X_{7}=\psi;

X_{0}X_{2}=X_{3}X_{5}=\sqrt{c},~X_{1}X_{3}=X_{4}X_{6}=\sqrt{a},~X_{2}X_{4}=X_{5}X_{7}=\sqrt{b}.

Заметим, что точка
O
лежит вне треугольников
X_{0}X_{1}X_{2}
,
X_{1}X_{2}X_{3}
,
X_{2}X_{3}X_{4}
,
X_{3}X_{4}X_{5}
,
X_{4}X_{5}X_{6}
,
X_{5}X_{6}X_{7}
, так как их углы
\varphi
,
\chi
,
\psi
тупые, поэтому
\angle X_{0}OX_{1}+\angle X_{1}OX_{2}=\angle X_{0}OX_{2}=360^{\circ}-2\varphi=\angle X_{3}OX_{5}=\angle X_{3}OX_{4}+\angle X_{4}OX_{5},

\angle X_{1}OX_{2}+\angle X_{2}OX_{3}=\angle X_{1}OX_{3}=360^{\circ}-2\chi=\angle X_{4}OX_{6}=\angle X_{4}OX_{5}+\angle X_{5}OX_{6},

\angle X_{2}OX_{3}+\angle X_{3}OX_{4}=\angle X_{2}OX_{4}=360^{\circ}-2\psi=\angle X_{5}OX_{7}=\angle X_{5}OX_{6}+\angle X_{6}OX_{7}.

Имеем:
\angle X_{0}OX_{1}+3\cdot360^{\circ}-2\varphi-2\chi-2\psi=

=\angle X_{0}OX_{1}+(\angle X_{1}OX_{2}+\angle X_{2}OX_{3})+(\angle X_{3}OX_{4}+\angle X_{4}OX_{5})+(\angle X_{5}OX_{6}+\angle X_{6}OX_{7})=

=(\angle X_{0}OX_{1}+\angle X_{1}OX_{2})+(\angle X_{2}OX_{3}+\angle X_{3}OX_{4})+(\angle X_{4}OX_{5}+\angle X_{5}OX_{6})+\angle X_{6}OX_{7}=

=3\cdot360^{\circ}-2\varphi-2\chi-2\psi+\angle X_{6}OX_{7}.

Значит,
\angle X_{0}OX_{1}=\angle X_{6}OX_{7}
, откуда следует равенство
\rho_{1}=X_{0}X_{1}=X_{6}X_{7}=\rho_{7}
, равносильное
r_{1}=r_{7}
. Что и требовалось.
Примечание. В условии задачи окружность
\omega_{1}
выбирается произвольно. Для окружности
\omega_{2}
, вписанной в угол
B
и касающейся внешним образом
\omega_{1}
, есть, вообще говоря, два варианта. Ровно как и для каждой из следующих четырёх окружностей. Причём «неправильный выбор» вариантов может дать цепочку окружностей, которая не замыкается. Именно чтобы избежать «неправильных цепочек», в условии сказано, что все окружности расположены внутри данного треугольника. Но это слишком сильное ограничение. Другие допустимые варианты расположения окружностей см. в п.3.1 статьи С.Дж.А.Ивлина, Г.Б.Мани-Каутса, Дж.А.Тиррелла «Теорема о семи окружностях и другие новые теоремы» (Математическое просвещение, 2019, выпуск 23, с. 51-79), являющейся переводом фрагмента книги C.J.A.Evelin, G.B.Money-Coutts, J.A.Tyrrell «The seven circles theorem and other new theorems» (London: Stacey Int., 1974).
Источник: «Математическое просвещение» (продолжающееся издание). — 2019, выпуск 23, с. 51-79