13155. В равнобедренном треугольнике ABC
с равными сторонами AB
и BC
проведены биссектрисы AD
и CE
. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AB
и BC
в точках K
и L
соответственно. Найдите DE
, если AC=12
и KL=9
.
Ответ. 8.
Решение. Вписанная в равнобедренный треугольник ABC
окружность касается основания AC
в его середине M
, поэтому
AK=AM=CM=CL=6.
Обозначим AB=BC=a
. Равнобедренные треугольники KBL
и ABC
подобны с коэффициентом
\frac{a-6}{a}=\frac{BE}{AB}=\frac{KL}{AC}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4},
откуда a=24
.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BD}{CD}=\frac{BE}{AE}=\frac{BC}{AC}=\frac{24}{12}=2.
Значит,
BE=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}\cdot24=16.
Тогда из подобия равнобедренный треугольников EBD
и ABC
получаем
\frac{DE}{AC}=\frac{BE}{AB}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}.
Следовательно,
DE=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}\cdot12=8.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2020, задача 5, вариант 201