13156. На высоте AH
остроугольного треугольника ABC
как на диаметре построена окружность. Эта окружность пересекает стороны AB
и AC
в точках D
и E
соответственно. Найдите отношение BH:HC
, если BD:DA=2:1
и AE:EC=3:1
.
Ответ. \sqrt{6}
.
Решение. Положим BD=2x
, AD=x
, AE=3y
, DA=y
. Отрезки HD
и HE
— высоты прямоугольных треугольников AHB
и AHC
, проведённые из вершин прямых углов, поэтому (см. задачу 2728)
AH^{2}=AD\cdot AB=3x^{2}~\mbox{и}~AH^{2}=AE\cdot AC=12y^{2}.
Из равенства 3x^{2}=12y^{2}
получаем, что x=2y
.
Кроме того,
BH=\sqrt{BD\cdot AB}=x\sqrt{6}~\mbox{и}~HC=\sqrt{CE\cdot AC}=2y.
Следовательно,
\frac{BH}{HC}=\frac{x\sqrt{6}}{2y}=\frac{2y\sqrt{6}}{2y}=\sqrt{6}.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2020, задача 5, вариант 202