13157. Биссектриса AL
треугольника ABC
перпендикулярна его медиане BM
. Найдите площадь этого треугольника, если известно, что AB=\sqrt{3}
и ML=1
.
Ответ. \frac{3\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть биссектриса AL
и медиана BM
данного треугольника пересекаются в точке K
. В треугольнике BAM
биссектриса AK
является высотой, поэтому этот треугольник равнобедренный, AK
— его медиана, а AM=AB=\sqrt{3}
. Тогда AC=2AM=2\sqrt{3}
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BL}{CL}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}.
В треугольнике BLM
высота AK
является медианой, поэтому этот треугольник тоже равнобедренный, BL=ML=1
. Тогда CL=2BL=2
. Треугольник CML
прямоугольный с прямым углом при вершине M
, так как
CL^{2}=4=1+3=ML^{2}+MC^{2}.
Значит,
S_{\triangle CML}=\frac{1}{2}ML\cdot MC=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},
S_{\triangle BMC}=\frac{BC}{CL}S_{\triangle CML}=\frac{3}{2}S_{\triangle CML}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle BMC}=\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2020, задача 5, вариант 227