13159. Окружность, проходящая через вершины A
и B
прямоугольника ABCD
, пересекает сторону BC
в точке E
, а диагональ BC
— в точке F
. Найдите площадь четырёхугольника ABEF
, если BE=8
, EC=4
, а точки D
, F
, E
лежат на одной прямой.
Ответ. 22\sqrt{3}
.
Решение. Поскольку ABEF
— вписанный четырёхугольник,
\angle AFE=180^{\circ}-\angle ABE=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Значит, треугольник CFE
прямоугольный, а отрезок DF
— высота прямоугольного треугольника ADC
, проведённая из вершины прямого угла. Треугольник AFD
подобен треугольнику CFE
с коэффициентом \frac{AD}{CE}=\frac{12}{4}=3
, поэтому, если CF=t
, то AF=3t
. Тогда (см. задачу 2728)
12^{2}=AD^{2}=AF\cdot AC=3t\cdot4t=12t^{2},
откуда
CF=t=2\sqrt{3},~AF=3t=6\sqrt{3},
AB^{2}=CD^{2}=CF\cdot AC=4t^{2}=48,~AB=4\sqrt{3},
EF=\sqrt{CE^{2}-CF^{2}}=\sqrt{16-12}=2.
Следовательно,
S_{ABEF}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle AFE}=\frac{1}{2}AB\cdot BE+\frac{1}{2}AE\cdot FE=
=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot8+\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{3}\cdot2=22\sqrt{3}.