13173. В четырёхугольник ABCD
площади 2 вписана окружность, касающаяся сторон AB
и CD
в точках K
и L
соответственно. Отрезок KL
пересекает диагональ AC
в точке M
. Найдите BD
, если известно, что AM=MC=1
.
Ответ. 2.
Решение. Обозначим
\angle CML=\angle AMK=\alpha,~\angle AKM=\angle DLM=\beta.
Применив теорему синусов к треугольникам AKM
и CLM
, получим
\frac{AM}{\sin\beta}=\frac{AK}{\sin\alpha},~\frac{CM}{\sin(180^{\circ}-\beta)}=\frac{CL}{\sin\alpha},
а так как
AM=CM,~\sin\beta=\sin(180^{\circ}-\beta),
то AK=CL
.
Тогда, если P
и Q
— точки касания окружности со сторонами AD
и BC
соответственно, то AP=AK=CL=CQ
, поэтому
BA=BK+AK=BQ+CQ=BC,~DC=DL+CL=DP+AP=DA.
Значит, треугольники ABC
и ADC
равнобедренные, а их медианы BM
и DM
являются высотами. Следовательно, точка M
лежит на диагонали BD
, а угол между диагоналями BD
и AC
равен 90^{\circ}
.
Тогда (см. задачу 3018)
2=S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot2\cdot BD=BD,
т. е. BD=2
.