13185. В параллелограмме со сторонами 3 и 5 проведены биссектрисы четырёх внутренних углов. Найдите отношение площади четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис, к площади параллелограмма.
Ответ. 2:15
.
Указание. См. задачу 1418.
Решение. Пусть угол при вершине A
параллелограмма ABCD
со сторонами AB=3
и AD=5
равен \alpha
, а биссектрисы углов A
и D
пересекают прямую BC
в точках E
и F
соответственно. Тогда
\angle BEA=\angle DAE=\angle BAE,
поэтому треугольник ABE
равнобедренный,
BE=AB=3,~CE=BC-BE=5-3=2.
Аналогично получим, что BF=2
.
Биссектриса равнобедренного треугольника ABE
является его высотой, значит, биссектрисы углов A
и B
перпендикулярны. Аналогично для любых двух соседних биссектрис углов параллелограмма. Следовательно, четырёхугольник, образованный при пересечении биссектрис параллелограмма, — прямоугольник.
Опустим из точек E
и F
перпендикуляры EP
и FQ
на биссектрисы углов C
и B
соответственно. Тогда смежные стороны рассматриваемого прямоугольника равны отрезкам EP
и FQ
. Из прямоугольных треугольников CPE
и BQF
получаем
EP=CE\sin\angle PCE=2\sin\frac{\alpha}{2},
FQ=BF\sin\angle FBQ=2\sin\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=2\cos\frac{\alpha}{2}.
Тогда площадь прямоугольника равна
EP\cdot FQ=2\sin\frac{\alpha}{2}\cdot2\cos\frac{\alpha}{2}=2\sin\alpha,
а так как площадь параллелограмма ABCD
равна AB\cdot AD\sin\alpha=15\sin\alpha
, то искомое отношение равно \frac{2}{15}
.
Источник: Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных программ. — 2010, № 3, 11 класс