13186. В трапеции ABCD
прямая, проведённая через вершину B
и середину диагонали AC
, пересекает большее основание AD
трапеции в точке N
, причём AB:ND=1:2
. Прямая CN
пересекает диагональ BD
в точке K
. Найдите отношение площади треугольника CKD
к площади трапеции.
Ответ. 1:6
.
Решение. Обозначим BC=a
. Пусть прямые AC
и BN
пересекаются в точке M
— середине диагонали AC
. Из равенства треугольников AMN
и CMB
следует, что AN=AC=a
. Тогда DN=2AN=2a
.
Из подобия треугольников DKN
и BKC
получаем
\frac{CK}{KN}=\frac{BC}{DN}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}~\Rightarrow~\frac{KN}{CN}=\frac{2}{3}.
При этом ABCN
— параллелограмм, в трапеции NBCD
треугольники CKD
и BKN
равновелики (см. задачу 3017), а так как у треугольников ACD
и ABC
равные высоты, проведённые из вершин C
и A
соответственно, то отношение их площадей равно отношению оснований, т. е. \frac{AD}{BC}=3
. Значит,
S_{\triangle CKD}=S_{\triangle BKN}=S_{\triangle CKN}=\frac{2}{3}S_{\triangle BCN}=\frac{2}{3}S_{\triangle ABN}=
=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}S_{\triangle ABD}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}S_{ABCD}=\frac{1}{6}S_{ABCD}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle CKD}}{S_{ABCD}}=\frac{\frac{1}{6}S_{ABCD}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{6}.