13195. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
выполнено AB=BC=CD
, и каждая из диагоналей равна какой-то стороне. Найдите углы четырёхугольника. (Ответ нужно выразить в градусах.)
Ответ. \angle A=\angle C=72^{\circ}
, \angle B=\angle C=108^{\circ}
.
Решение. Обозначим AB=BC=CD=a
, AD=b
. Существует три возможности: обе диагонали равны стороне AB
; одна из диагоналей равна стороне AB
, а другая — AD
; обе диагонали равны стороне AD
.
В выпуклом четырёхугольнике сумма диагоналей строго больше суммы противоположных сторон (см. задачу 3516). Тогда в первом случае
AC+BD\gt AB+CD~\mbox{или}~2a\gt2a,
что невозможно. Во втором случае
AC+BD\gt BC+AD~\mbox{или}~a+b\gt a+b,
что также невозможно. Следовательно, обе диагонали равны стороне AD
. Значит, треугольники ABC
и BCD
равны по трём сторонам и являются равнобедренными. Обозначим
\angle CAB=\angle BCA=\angle CBD=\angle CDB=\alpha.
Треугольники ABD
и CDA
равны по трём сторонам и тоже являются равнобедренными. Обозначим
\angle BAD=\angle ABD=\angle CDA=\angle DCA=\beta.
Сумма углов каждого из треугольников ABC
и CDA
равна 180^{\circ}
, т. е.
\alpha+\alpha+(\alpha+\beta)=180^{\circ}~\mbox{и}~(\beta-\alpha)+\beta+\beta=180^{\circ}.
Таким образом, имеем систему
\syst{3\alpha+\beta=180^{\circ}\\3\beta-\alpha=180^{\circ},\\}
из которой находим, что \beta=72^{\circ}
и \alpha=36^{\circ}
. Следовательно,
\angle A=\angle D=\beta=72^{\circ},~\angle B=\angle C=\alpha+\beta=108^{\circ}.