13209. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
взяты такие точки K
и M
, что AK:KB=k:1
и BM:MC=5:2
. Отрезки AM
и CK
пересекаются в точке P
. При каком наименьшем целом k
отношение площади треугольника AKP
к площади треугольника CMP
также будет целым?
Ответ. 4.
Решение. Положим KB=x
, AK=kx
, BM=5t
, MC=2t
.
Через вершину C
параллельно AB
проведём прямую, пересекающую продолжение отрезка AM
в точке D
. Треугольник CMD
подобен треугольнику BMA
с коэффициентом \frac{CM}{MB}=\frac{2}{5}
. Кроме того, треугольник KPA
подобен треугольнику CPD
, поэтому
CD=\frac{2}{5}AB=\frac{2}{5}(k+1)x,~\frac{PK}{PC}=\frac{AK}{CD}=\frac{kx}{\frac{2}{5}(k+1)x}=\frac{5k}{2(k+1)}.
Через вершину A
параллельно BC
проведём прямую, пересекающую продолжение отрезка CK
в точке E
. Треугольник AKE
подобен треугольнику BKC
с коэффициентом \frac{AK}{KB}=k
. Кроме того, треугольник CPM
подобен треугольнику EPA
, поэтому
AE=BC=k(k+1)x,~\frac{AP}{PM}=\frac{AE}{MC}=\frac{7kt}{2t}=\frac{7k}{2}.
Тогда (см. задачу 3007)
\frac{S_{\triangle AKP}}{S_{\triangle CMP}}=\frac{PK}{PC}\cdot\frac{AP}{PM}=\frac{5k}{2(k+1)}\cdot\frac{7k}{2}=\frac{35k^{2}}{4(k+1)}.
При k=4
это отношение — целое число 28, при k=1{,}2,3
это отношение не является целым числом. Следовательно, k=4
— наименьшее целое число, удовлетворяющее условию задачи.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2021, отборочный этап, задача 6, 11 класс