13219. Найдите квадрат минимальной суммы расстояний до вершин от точки внутри треугольника со сторонами 3 и 5 и углом
30^{\circ}
между ними.
Ответ. 34.
Указание. См. задачу 6700.
Решение. Пусть
AB=3
,
AC=4
— стороны треугольника
ABC
,
\angle ABC=30^{\circ}
. По теореме косинусов
BC^{2}=9+25-2\cdot3\cdot5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=34-15\sqrt{3}.

Тогда
\cos\angle ABC=\frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{9+34-15\sqrt{3}-25}{2\cdot3\cdot\sqrt{34-15\sqrt{3}}}=

=\frac{18-15\sqrt{3}}{2\cdot3\cdot\sqrt{34-15\sqrt{3}}}=\frac{6-5\sqrt{3}}{2\sqrt{34-15\sqrt{3}}}\lt0

Значит,
\angle ABC\gt90^{\circ}
, поэтому
ABC
— наибольший угол треугольника. Докажем, что
\angle ABC\lt120^{\circ}
. Отсюда будет следовать, что точка
P
, для которой сумма расстояний до вершин треугольника
ABC
минимальна, действительно лежит внутри треугольника, и тогда это точка, из которой все стороны видны под углом
120^{\circ}
(см. задачу 6700).
В самом деле,
\angle ABC\lt120^{\circ}~\Leftrightarrow~\cos\angle ABC\gt-\frac{1}{2}~\Leftrightarrow~\frac{6-5\sqrt{3}}{2\sqrt{34-15\sqrt{3}}}\gt-\frac{1}{2}~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~\sqrt{34-15\sqrt{3}}\gt5\sqrt{3}-6~\Leftrightarrow~34-15\sqrt{3}\lt111-60\sqrt{3}~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~45\sqrt{3}\gt77~\Leftrightarrow~6075\gt5929.

Что и требовалось доказать.
Обозначим
PA=x
,
PB=y
,
PC=z
. По теореме косинусов из треугольников
APC
,
APB
и
BPC
с углами
120^{\circ}
при общей вершине
P
получаем
x^{2}+y^{2}+xy=25,~x^{2}+z^{2}+xz=9,~y^{2}+z^{2}+yz=34-15\sqrt{3}.

Сложив эти равенства, получим
2(x^{2}+y^{2}+x^{2})+xy+xz+yz=68-15\sqrt{3},

x^{2}+y^{2}+x^{2}=\frac{1}{2}(68-15\sqrt{3}-xy-xz-yz),

а так как
\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin30^{\circ}=\frac{15}{4}=S_{\triangle ABC}=S_{\triangle APC}+S_{\triangle APB}+S_{\triangle BPC}=

=\frac{1}{2}xy\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}xz\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}yz\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}(xy+xz+yz),

откуда
xy+xz+yz=\frac{\frac{15}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{4}}=5\sqrt{3}.

Следовательно,
(PA+PB+PC)^{2}=(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+xz+yz)=

=\frac{1}{2}(68-15\sqrt{3}-xy-xz-yz)+2\cdot5\sqrt{3}=

=\frac{1}{2}(68-15\sqrt{3}-5\sqrt{3})+2\cdot5\sqrt{3}=34.

Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2020, предварительный этап, задача 9, 10 класс