13220. Найдите квадрат минимальной суммы расстояний до вершин от точки внутри треугольника со сторонами 2, \sqrt{3}
и \sqrt{7}
.
Ответ. 13.
Указание. См. задачу 6700.
Решение. Пусть AB=2
, BC=\sqrt{3}
и AC=\sqrt{7}
— стороны треугольника ABC
. Поскольку
AC^{2}=7=4+3=AB^{2}+BC^{2},
этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине B
. Значит, точка P
, для которой сумма расстояний до вершин треугольника ABC
минимальна, действительно лежит внутри треугольника, и тогда это точка, из которой все стороны видны под углом 120^{\circ}
(см. задачу 6700).
Обозначим PA=x
, PB=y
, PC=z
. По теореме косинусов из треугольников APB
, APC
и BPC
с углами 120^{\circ}
при общей вершине P
получаем
x^{2}+y^{2}+xy=4,~x^{2}+z^{2}+xz=7,~y^{2}+z^{2}+yz=3.
Сложив эти равенства, получим
2(x^{2}+y^{2}+x^{2})+xy+xz+yz=14,
x^{2}+y^{2}+x^{2}=\frac{1}{2}(14-xy-xz-yz),
а так как
\frac{1}{2}xy\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}xz\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}yz\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=S_{\triangle APB}+S_{\triangle APC}+S_{\triangle BPC}=
=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\sqrt{3}=\sqrt{3},
то xy+xz+yz=4
. Следовательно,
(PA+PB+PC)^{2}=(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+xz+yz)=
=\frac{1}{2}(14-xy-xz-yz)+2(xy+xz+yz)=\frac{1}{2}(14-4)+8=13.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2020, предварительный этап, задача 9, 11 класс