13221. Найдите наибольший угол выпуклого четырёхугольника, если известно, что величины внешних углов четырёхугольника относятся как 3:4:5:8
.
Ответ. 126^{\circ}
.
Решение. Пусть внешние углы четырёхугольника равны 3x
, 4x
, 5x
, 8x
. Тогда (см. задачу 1304)
3x+4x+5x+8x=360^{\circ},
откуда x=18^{\circ}
. Значит, внешние углы четырёхугольника равны соответственно 54^{\circ}
, 72^{\circ}
, 90^{\circ}
, 144^{\circ}
. Внутренние углы четырёхугольника дополняют смежные с ними внешние углы до 180^{\circ}
, поэтому наибольший внутренний угол равен разности 180^{\circ}
и наименьшего внешнего угла. Следовательно, наибольший угол данного четырёхугольника равен
180^{\circ}-54^{\circ}=126^{\circ}.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2019, предварительный этап, задача 1, 9 класс