13226. Трапеция ABCD
с основанием AD
разрезана диагональю AC
на два треугольника. Прямая l
, параллельная основаниям, разрезает эти треугольники на два треугольника и два четырёхугольника. При каком положении прямой l
сумма площадей полученных треугольников минимальна?
Ответ. Искомая прямая проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.
Решение. Докажем, что искомая прямая совпадает с прямой l_{0}
, проходящей через точку O
пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям.
Пусть прямая l
пересекает боковые стороны AB
и CD
трапеции в точках X
и Y
соответственно, а диагонали AC
и BD
— в различных точках Z
и T
соответственно (Z
между A
и O
); прямая l_{0}
пересекает стороны AB
и CD
в точках M
и N
соответственно. Обозначим через S
сумму площадей треугольников, о которых говорится в условии, через S_{0}
— сумму площадей треугольников AOX
и COY
, через s
— площадь треугольника ZOT
.
Трапеции MXOZ
и NYOT
равновелики, так как их основания соответственно равны (см. задачу 1536) и высоты равны, поэтому
S-s=(S_{\triangle AOX}-S_{MXOZ})+(S_{\triangle COY}+S_{NYOT}+s)-s=
=S_{\triangle AOX}+S_{\triangle COY}=S_{0}.
Значит,
S=S_{0}+s\gt S_{0}.
Что и требовалось доказать. Следовательно, прямая l_{0}
— искомая.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 11.31, с. 276