13239. Дан прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой AB
. Окружность радиуса 24 касается стороны BC
и продолжений двух других сторон. Окружность радиуса 18 касается стороны AC
и продолжений двух других сторон. Найдите сторону AB
.
Ответ. 42.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, а p
— полупериметр треугольника ABC
. Пусть первая окружность с центром O_{1}
касается катета BC
в точке M
, а продолжения катета AC
— в точке K
, вторая окружность с центром O_{2}
касается катета AC
в точке N
, а продолжения катета BC
— в точке L
. Тогда CMO_{1}K
и CNO_{2}L
— квадраты, поэтому
CK=O_{1}M=24,~CL=O_{2}N=18.
Значит (см. задачу 1750),
\frac{b+c-a}{2}=p-a=BL-BC=CL=18,
\frac{a+c-b}{2}=p-b=AK-AC=CK=24,
откуда
b+c-a=36,~a+c-b=48.
Сложив эти равенства, получим 2c=84
. Следовательно,
AB=c=\frac{1}{2}\cdot84=42.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2014, предварительный этап, задача 7, 10 класс