13240. Дан прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой AB
. Окружность радиуса 39 касается стороны AB
и продолжений двух других сторон. Окружность радиуса 15 касается стороны BC
и продолжений двух других сторон. Найти длину стороны AC
.
Ответ. 24.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, а p
— полупериметр треугольника ABC
. Пусть первая окружность с центром O_{1}
касается гипотенузы AB
в точке M
, а продолжений катетов AC
и BC
— в точках K
и D
соответственно, вторая окружность с центром O_{2}
касается катета BC
в точке N
, а продолжения катета AC
— в точке L
. Тогда CDO_{1}K
и CLO_{2}N
— квадраты, поэтому
CK=O_{1}L=39,~CL=O_{2}N=15.
Значит (см. задачу 1750),
\frac{b+c+a}{2}=p=CK=39,
\frac{a+c-b}{2}=p-b=AL-AC=CL=O_{2}N=15,
откуда
a+b+c=78,~a+c-b=30.
Вычитая из первого равенств второе, получим 2b=48
. Следовательно,
AC=b=\frac{1}{2}\cdot48=24.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2014, предварительный этап, задача 6, 11 класс