13246. Окружность пересекает сторону AB
треугольника ABC
в точках K
и L
, сторону BC
— в точках M
и N
, сторону AC
— в точках R
и S
. Дано: KL=MN=RS=6
, AB=12
, BC=16
, \angle ABC=90^{\circ}
. Найдите радиус окружности.
Ответ. 5.
Решение. Пусть O
— центр данной окружности. Равнобедренные треугольники KOL
, MON
и ROS
равны по трём сторонам, значит, равны и их высоты, опущенные на основания из общей вершины O
, т. е. точка O
равноудалена от всех сторон треугольника ABC
и расположена внутри треугольника (внутри каждого его угла). Тогда O
— центр вписанной в треугольник ABC
окружности.
Пусть r
— радиус этой окружности, а r_{1}
— радиус искомой окружности. По теореме Пифагора
AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+16^{2}}=4\sqrt{3^{2}+4^{2}}=20.
Тогда (см. задачу 217)
r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{12+16-20}{2}=4.
Следовательно,
r_{1}=\sqrt{OK^{2}+\left(\frac{KL}{2}\right)^{2}}=\sqrt{r^{2}+\frac{KL^{2}}{4}}=\sqrt{16+9}=5.
Источник: Олимпиада «Высшая проба» (математическая олимпиада ВШЭ). — 2013, предварительный этап, задача 9, 8 класс