13260. В остроугольном треугольнике ABC
проведена высота AH
. Окружность с центром B
и радиусом BH
вторично пересекает в точке M
перпендикуляр, опущенный из точки H
на прямую AB
. Окружность с центром C
и радиусом CH
вторично пересекает в точке N
перпендикуляр, опущенный из точки H
на прямую AC
. Прямая MN
вторично пересекает первую окружность в точке L
, а вторую — в точке Q
. Наконец, Y
и Z
— точки пересечения прямых HL
и HQ
с прямыми AB
и AC
соответственно. Докажите, что:
а) \angle MHL=\angle NHQ
;
б) AYHZ
— параллелограмм.
Решение. а) Точки M
и H
симметричны относительно прямой AB
, и первая окружность симметрична относительно этой прямой (см. задачу 1677), а так как AH
— касательная к окружности, то прямая AM
касается окружности в точке M
. Аналогично, прямая AN
касается второй окружности в точке N
. При этом AH
— общая касательная этих окружностей, поэтому
AM=AH=AN.
Значит, треугольник MAN
равнобедренный.
Из теоремы об угле между касательной и хордой получаем, что
\angle MHL=\angle AML=\angle AMN=\angle ANM=\angle ANQ=\angle NHQ.
Что требовалось доказать.
б) Пусть прямая MN
пересекает стороны AB
и AC
в точках G
и K
соответственно. Из симметрии относительно прямых AB
и AC
получаем, что
\angle KMA=\angle NMA=\angle MNA=\angle KNA=\angle KHA,
поэтому точки M
, A
, K
и H
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Аналогично, точки N
, A
, G
и H
лежат на одной окружности. Значит,
\angle KAH=\angle KMH~\mbox{и}~\angle HAG=\angle HNG.
Кроме того,
\angle KMH=\angle LMH=\angle LHA~\mbox{и}~\angle HNG=\angle HNQ=\angle AHQ.
Значит,
\angle KAH=\angle KMH=\angle LHA~\mbox{и}~\angle HAG=\angle HNG=\angle AHQ,
поэтому AZ\parallel YH
и AY\parallel HZ
. Следовательно, AYHZ
— параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2020, № 8, задача 4525, с. 426