13263. Точка M
— середина стороны AB
квадрата ABCD
, P
— проекция вершины B
на прямую CM
, N
— середина отрезка CP
. Биссектриса угла DAN
пересекает прямую DP
в точке Q
. Докажите, что четырёхугольник BMQN
— параллелограмм.
Решение. Пусть CN=NP=2t
. Прямоугольные треугольники BPM
, CPB
и CBM
подобны, поэтому
MP=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}CP=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot4t=t=\frac{1}{2}NC,
значит,
\frac{MN}{NC}=\frac{3t}{2t}=\frac{3}{2}.
Пусть прямые AN
и DC
пересекаются в точке R
. Из подобия треугольников AMN
и RCN
получаем
\frac{AM}{CR}=\frac{MN}{NC}=\frac{3}{2}.
Обозначим CR=a
. Тогда
AM=\frac{3}{2}a,~DC=AD=AB=2AM=3a,~DR=DC+CR=3a+a=4a.
По теореме Пифагора получаем, что AR=5a
.
Пусть прямые AQ
и DR
пересекаются в точке S
. Обозначим DS=b
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{DS}{SR}=\frac{AD}{AR},~\mbox{или}~\frac{b}{4a-b}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5},
откуда b=\frac{3}{2}a
. Тогда прямоугольные треугольники CBM
и ADS
равны по двум катетам, так как
CB=AD,~BM=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}a=DS=b=\frac{3}{2}a=DS.
Значит, \angle DAS=\angle BCM
, и поэтому AS\parallel CM
, а так как S
— середина DC
, то Q
— середина DP
.
Отрезок QN
— средняя линия треугольника PDC
, то
QN=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}AB=BM~\mbox{и}~QN\parallel DC\parallel BM.
Следовательно, BMQN
— параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2020, № 8, задача OC473, с. 367
Источник: Румынские математические олимпиады. — 2017