13281. Сторона AB
треугольника ABC
равна 20. Найдите площадь треугольника, если вписанная окружность имеет радиус 4 и касается окружности, построенной на AB
как на диаметре.
Ответ. 100.
Решение. Пусть O
— центр окружности с диаметром AB
(т. е. середина AB
), O_{1}
— центр окружности радиуса r=4
, вписанной в треугольник ABC
и касающейся сторон AB
, AC
и BC
в точках M
, K
и L
соответственно, N
— точка касания окружностей.
Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания, поэтому
OO_{1}=OP-O_{1}P=10-4=6.
Из прямоугольного треугольника OMO_{1}
находим, что
MO=\sqrt{OO_{1}^{2}-O_{1}M^{2}}=\sqrt{36-16}=2\sqrt{5}.
Значит,
AK=AM=OA-OM=10-2\sqrt{5},
BL=BM=BO+OM=10+2\sqrt{5}.
Пусть S
— площадь треугольника ABC
, p
— его полупериметр. Обозначим CK=CL=x
. Тогда
p=AK+CL+AM=10-2\sqrt{5}+x+10+2\sqrt{5}=20+x.
По формуле Герона
S=\sqrt{(20+x)(10-2\sqrt{5})(10+2\sqrt{5})x}=\sqrt{80x(20+x)}=4\sqrt{5x(20+x)}.
С другой стороны (см. задачу 452), S=pr=4(20+x)
. Значит,
4\sqrt{5x(20+x)}=4(20+x),~\sqrt{5x(20+x)}=20+x,
\sqrt{5x}=\sqrt{20+x},~5x=20+x,~x=5.
Следовательно,
S=pr=(20+5)\cdot4=100.
Источник: Олимпиада Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. — 2021-2022, заключительный тур, № 5
Источник: Журнал «Квант». — 2022, № 9, с. 51, задача 5; 2022, № 10, с. 63, задача 5