13288. Периметр треугольника ABC
равен 1. Окружность касается стороны BC
, продолжения стороны AB
в точке P
и продолжения стороны AC
в точке Q
. Прямая, проходящая через середины AB
и AC
, пересекает описанную окружность треугольника APQ
в точках X
и Y
. Найдите длину отрезка XY
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и AC
соответственно, I
— центр рассматриваемой вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
. Тогда BI
и CI
— биссектрисы внешних углов при вершинах B
и C
треугольника ABC
. Поскольку IP\perp AP
и IQ\perp AQ
, точки P
и Q
лежат на окружности с диаметром AI
. Эта окружность совпадает с описанной окружностью треугольника APQ
.
Пусть луч IB
пересекает прямую MN
в точке X'
, а D
— точка на продолжении стороны BC
за точку B
. Тогда BX'
— биссектриса угла DBM
, а так как MX'\parallel BD
(точка X'
лежит на продолжении средней линии треугольника ABC
), то
\angle MBX'=\angle DBX'=\angle BX'M.
Значит, треугольник MBX'
равнобедренный, и MX'=MB=MA
.
В треугольнике AX'B
медиана X'M
равна половине стороны AB
, поэтому (см. задачу 1188) этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине X'
. Из точки X'
отрезок AI
виден под прямым углом, следовательно, эта точка лежит на окружности с диаметром AI
, т. е. на описанной окружности треугольника APQ
. Таким образом, точка X'
совпадает с X
. Аналогично, точка пересечения луча IC
с прямой MN
совпадает с точкой Y
.
Поскольку XM=\frac{1}{2}AB
, YM=\frac{1}{2}AC
и MN=\frac{1}{2}BC
, то
XY=XM+MN+NY=\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=
=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}.
Автор: Бродский Д. В.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 2023, LXXXVI, № 3, 9-10 классы