13290. Пусть ABCD
— параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка P
выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников PAB
и PCD
имеют общую хорду, перпендикулярную AD
. Докажите, что радиусы данных окружностей равны.
Решение. Если AB
и CD
— диаметры окружностей, то утверждение очевидно.
Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, описанных около треугольников PAB
и PCD
соответственно, PQ
— общая хорда окружностей, причём AB
и CD
не являются диаметрами окружностей. Поскольку общая хорда пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров, O_{1}O_{2}\perp PQ
(см. задачу 1130), а так как по условию AD\perp PQ
, то O_{1}O_{2}\parallel AD
.
Пусть M
и N
— середины сторон AB
и CD
соответственно. Тогда O_{1}M\perp AB
и O_{2}N\perp CD
(см. задачу 1677), а так как MN\parallel AD
, то O_{1}M\parallel O_{2}N
. Противоположные стороны четырёхугольника MO_{1}O_{2}N
попарно параллельны, значит, это параллелограмм. Тогда O_{1}M=O_{2}N
.
Прямоугольные треугольники AMO_{2}
и DNO_{2}
равны по двум катетам, следовательно, равны гипотенузы O_{1}A
и O_{2}D
, т. е. равны радиусы окружностей. Что и требовалось доказать.