13295. На окружности \omega
по разные стороны от диаметра AC
расположены точки B
и D
. Известно, что AB=3\sqrt{6}
, CD=3
, а площадь треугольника ABC
в три раза больше площади треугольника BCD
. Найдите радиус окружности \omega
.
Ответ. 4,5.
Решение. Точки B
и D
лежат на окружности с диаметром AC
, поэтому \angle ABC=\angle ADC=90^{\circ}
. Опустим из точки D
перпендикуляр DK
на прямую BC
. Поскольку площадь треугольника ABC
в три раза больше площади треугольника BCD
, то
DK=\frac{1}{3}AB=\sqrt{6}.
Из прямоугольного треугольника DCK
получаем
CK=\sqrt{CD^{2}-DK^{2}}=\sqrt{9-6}=\sqrt{3}.
Пусть продолжения отрезков BC
и AD
пересекаются в точке E
(эти прямые не параллельны, так как иначе четырёхугольник ADKB
был бы параллелограммом, но DK\ne AB
). Отрезок DK
— высота прямоугольного треугольника CDE
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому (см. задачу 2728)
EK=\frac{DK^{2}}{CK}=2\sqrt{3}.
Прямоугольные треугольники ABE
и DKE
подобны с коэффициентом \frac{AB}{DK}=3
, поэтому BE=3EK=6\sqrt{3}
. Тогда
BC=BE-CK-KE=6\sqrt{3}-\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}.
Следовательно,
AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{54+27}=9,
откуда искомый радиус равен \frac{1}{2}AC=\frac{9}{2}
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2022-2023, XLIX, школьный этап, задача 7, 10 класс