13298. Трапеция ABCD
с основаниями AD
и BC
вписана в окружность \omega
. Диагонали AC
и BD
пересекаются в точке P
. Точка M
— середина отрезка AB
. Серединный перпендикуляр к отрезку AD
пересекает окружность \omega
в точках K
и L
. Точка N
— середина дуги CD
описанной окружности треугольника PCD
, не содержащей точку P
. Докажите, что точки K
, L
, M
и N
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим через O
центр окружности, описанной около трапеции ABCD
. Тогда
\angle COD=2\angle CAD=\angle PAD+\angle ADP=\angle COD=\angle CPD.
Здесь мы воспользовались тем, что центральный угол вдвое больше вписанного, и что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных. Следовательно, точка O
лежит на окружности \gamma
, описанной около треугольника CPD
, и поскольку OC=OD
, то O
— середина дуги CPD
. Тогда отрезок ON
— диаметр окружности \gamma
, а прямая ON
— серединный перпендикуляр к отрезку CD
. В частности, середина отрезка CD
, обозначим её через S
, лежит на отрезке ON
. Из сказанного выше,
\angle OCN=90^{\circ}=\angle CSN.
Значит, окружность, описанная около треугольника SCN
, касается прямой OC
(см. задачу 1735), поэтому OS\cdot ON=OC^{2}=OK\cdot OL
.
Отметим точку S'
, симметричную точке S
относительно точки O
. Тогда OK\cdot OL=OS'\cdot ON
, поэтому точки S'
, K
, L
, N
лежат на одной окружности (см. задачу 114).
Теперь заметим, что точки M
и S
симметричны относительно прямой KL
. Значит,
OS'=OS=OM~\mbox{и}~\angle LOS'=\angle KOS=\angle KOM.
Таким образом, точки M
и S'
симметричны относительно серединного перпендикуляра к отрезку KL
(см. задачу 1677). Следовательно, точки K
, M
, S'
и L
лежат на одной окружности. Из сказанного выше, на этой окружности лежит также и точка N
. Что и требовалось доказать.
Автор: Кузнецов А. С.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2021-2022, XLVIII, региональный этап, второй день, задача 9, 11 класс