13301. Пусть
I
— центр вписанной окружности остроугольного треугольника
ABC
,
M
и
N
— точки касания вписанной окружности сторон
AB
и
BC
соответственно. Через точку
I
проведена прямая
l
, параллельная стороне
AC
, и на неё опущены перпендикуляры
AP
и
CQ
. Докажите, что точки
M
,
N
,
P
и
Q
лежат на одной окружности.
Решение. Первый способ. Пусть углы
BAC
и
BCA
треугольника
ABC
равны, соответственно
2\alpha
и
2\gamma
. Углы
API
и
AMI
прямые, поэтому точки
A
,
P
,
M
,
I
лежат на окружности с диаметром
AI
. Тогда
\angle PMA=\angle PIA=\angle IAC=\alpha.

Аналогично,
\angle QNC=\gamma
. Из равнобедренного треугольника
MBN
находим, что
\angle BMN=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle MBN)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-(180^{\circ}-2\alpha-2\gamma))=\alpha+\gamma.

Тогда
\angle PMN=\angle PMA+\angle AMN=\angle PMA+(180^{\circ}-\angle BMN)=

=\alpha+180^{\circ}-(\alpha+\gamma)=180^{\circ}-\gamma,

а так как
\angle PQN=\angle ICN=\gamma,

то сумма углов
PMN
и
PQN
равна
180^{\circ}
. Следовательно, точки
M
,
N
,
P
и
Q
лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Докажем, что середина
T
не содержащей точки
B
дуги
AC
окружности, описанной около треугольника
ABC
, равноудалена от вершин четырёхугольника
PMNQ
. Отсюда будет следовать утверждение задачи.
Биссектриса
BT
угла
ABC
и серединный перпендикуляр к стороне
AC
треугольника
ABC
пересекаются в точке
T
(см. задачу 1743), а так как
APQC
— прямоугольник, то серединный перпендикуляр к стороне
AC
является серединным перпендикуляром и к стороне
PQ
. Значит,
TP=TQ
.
Прямая
BT
— серединный перпендикуляр к отрезку
MN
(см. задачу 1180), поэтому
TM=TN
. Осталось доказать, что
TP=TM
.
Обозначим
\angle ABC=2\beta
. Вписанные углы
CAT
и
CBT
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CAT=\angle CBT=\beta,~\angle PAT=\angle PAC+\angle CAT=90^{\circ}+\beta.

Из прямоугольного треугольника
BMI
получаем
\angle BIM=90^{\circ}-\beta
, поэтому
\angle MIT=180^{\circ}-\angle BIM=90^{\circ}+\beta=\angle PAT.

Пусть
r
— радиус вписанной окружности треугольника
ABC
. Поскольку
AP=IM=r
, а по теореме о трилистнике
AT=IT
(см. задачу 788), то треугольники
PAT
и
MIT
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
TP=TM
. Что и требовалось.
Автор: Женодаров Р. Г.
Автор: Дмитриев О. Ю.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2020-2021, XLVII, региональный этап, второй день, задача 7, 11 класс